\tema{Interpolaci\'on}

\intro

Una de las clases de funciones m'as 'utiles y mejor conocidas que manda al 
conjunto de los n'umeros reales sobre s'i mismos es la de los polinomios 
algebraicos. Su importancia se debe a que aproximan de manera uniforme a las  
funciones continuas. Dada una funci'on cualquiera, definida y continua en un 
intervalo cerrado, existe un polinomio que est'a tan cerca de la fucni'on 
como se desee.

Polinomio de Lagrange:

\[
Px = \sum_{k = 0}^{n} y_{k} l_{n,k}(x)
\]

\[
l_{n,k} = \prod_{i = o, i\neq k}^{n}  \frac{x-\x{i}}{\x{k} - \x{i}} 
\]

\typ

\prop{
Sea $\x{0}, \hdots, \x{n} \in [a,b], f \in C^{n+1}[a,b] \Rightarrow \forall x \in (a,b) \exists c = \xi(x) \in (a,b)$ tal que 
\[
f(x) = P(x) + \frac{f^{n+1}(\xi(c))}{(n+1)!} \prod{(x - \x{i}}
\]
}

\prop{
El polinomio interpolante es 'unico.
}

\defi{
$P_{m_{1}, \hdots, m_{k}}(x)$ es el polinomio interpolante en $x_{m_{1}}, \hdots, x_{m_{k}}$
}

\prop{
Sean $x_{0}, \hdots, x_{k}$. El polinimio interpolante de grado k es:
\[
P(x) = \frac {(x - \x{j}) P_{0, 1, \hdots, j-1, j+1, \hdots, k} (x) - (x - \x{i}) P_{0, 1, \hdots, i-1, i+1, \hdots, k} (x)}
							{(\x{i} - \x{j})}
\]
}

\linea
Otra cosa que no entiendo que hace aca:

\defi{
$Q_{ij}(x) = P_{i-j, i-j+1, \hdots, i}$ interpolante en $\x{i-j}, \x{i-j+1}, \hdots, \x{i} (i \geq j)$
}

\linea

\defi{
La diferencia divida de orden 1 entre $x_{i}$ y $x_{i+1}$

\[
f[x_{i}, x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}}
\]

La diferencia dividida de orden k entre $x_{i}, x_{i+1}, \hdots, x_{i+k}$

\[
f[x_{i}, x_{i+1}, \hdots, x_{i+k}] = \frac{f(x_{i+1}, \hdots, x_{i+k}) - f(x_{i}, x_{i+1}, \hdots, x_{i+k-1})}{x_{i+k} - x_{i}}
\]

As'i, P(x) queda determinado por:

\[
P(x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + \hdots + a_{n} (x - x_{0}) (x - x_{1}) \hdots (x-x_{n-1})
\]

donde $a_{k} = f[x_{0} \hdots x_{k}]$
}

\subsection{Interpolaci'on fragmentaria o Splines}

El estudio de la aproximaci'on de una funci'on arbitraria por medio de un polinomio 
en un intervalo cerrado, muestra que la naturaleza oscilatoria de los polinomios 
de alto grado y la propiedad de que una fluctuaci'on en una parte peque'na de un 
intervalo puede ocasionar importantes fluctuaciones en todo el rango limita su 
utilizaci'on. 

Un procedimiento alterno consiste en dividir el intervalo en una serie de 
subintervalos, y en cada subintervalo construir un polinomio (generalmente) 
diferente de aproximaci'on. A esta forma de aproximar por medio de funciones se le 
conoce como \emph{aproximaci'on polin'omica fragmentaria}, o \emph{splines}.

La aproximaci'on por funciones lineales muestra una desventaja: no se tiene la 
seguridad de que haya diferenciabilidad en los extremos de los subintervalos, 
lo cual dentro de un contexto geom'etrico significa que la funci'on interpolante 
no es ``suave'' en dichos puntos. A menudo las condiciones f'isicas indican 
claramente que se requiere esa condici'on y que la funci'on de aproximaci'on 
debe ser continuamente diferenciable.

La aproximaci'on polin'omica fragmentaria m'as com'un utiliza polinomios entre 
cada par consecutivo de nodos y recibe el nombre de \textbf{interpolaci'on de 
trazadores c'ubico} o \textbf{splines}. Un polinomio c'ubico general contiene 
cuatro constantes; as'i pues, el procedimiento del trazador c'ubico ofrece 
suficiente flexibilidad para garantizar que el interpolante no s'olo sea 
continuamente diferenciable en el intervalo, sino que adem'as tenga una segunda derivada continua 
en el intervalo. Sin embargo, en la construcci'on del trazador c'ubico 
no se supone que las derivadas del interpolante concuerdan con las de la funci'on, 
ni siquiera en los nodos.

De esta forma, se llega a una definici'on de spline.

Dada una funci'on $f$ definida en $[a, b]$ y un conjunto de nodos 
$a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n} = b$ un spline $S$ para $f$ es una funci'on 
que cumple con las condiciones siguientes:

\begin{enumerate}
	\item $S(x)$ es un polinomio c'ubico, denotado $S_{j}(x)$, en el intervalo 
	$[x_{j}, x_{j+1}]$ para cada $j = 0, 1, \ldots, n-1$.
	\item $S(x_{j}) = f(x_{j})$ para cada $j = 0, 1, \ldots, n$.
	\item $S_{j+1}(x_{j+1}) = S_{j}(x_{j+1})$ para cada $j = 0, 1, \ldots, n-2$.
	\item $S_{j+1}'(x_{j+1}) = S_{j}'(x_{j+1})$ para cada $j = 0, 1, \ldots, n-2$.
	\item $S_{j+1}''(x_{j+1}) = S_{j}''(x_{j+1})$ para cada $j = 0, 1, \ldots, n-2$.
	\item Una de la siguientes condiciones de frontera se satisface:
		\begin{enumerate}
			\item $S''(x_{0}) = S''(x_{n}) = 0$ (frontera libre o natural)
			\item $S'(x_{0}) = f'(x_{0})$ y $S'(x_{n}) = f'(x_{n})$ (frontera sujeta)
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

con 

\[
S_{j}(x) = a_{j} + b_{j} (x - x_{j}) + c_{j} (x - x_{j})^{2} + d_{j} (x - x_{j})^3 \forall j = 0, \hdots, n-1
\]